19.03.2020 

Тема:Вектори на площинi i в просторi. Операцiї над векторами.

 Основнi поняття. Величини, якi повнiстю визначаються своїм чисельним значенням, називаються скалярними. Наприклад, площа, об’єм, температура, маса. Iншi величини, наприклад, сила, швидкiсть, прискорення, визначаються не тiльки своїм чисельним значенням, але й напрямом. Такi величини називаються векторними. Векторна величина геометрично зображається за допомогою вектора.

 Означення  Вектор – це напрямлений прямолiнiйний вiдрiзок, тобто вiзрiзок, який має певну довжину i певний напрямок. Якщо, точка A – початок вектора, а точка B – його кiнець, тодi вектор позначається символом −→AB або −→a .

Означення  Вектор −→BA (його початок в точцi B, а кiнець в точцi A) називається протилежним ветору −→AB. Вектор, протилежний ветору −→a , позначається − −→a .

Означення 6.3. Довжиною або модулем вектора −→AB називається довжина вiдрiзка вiд точки A до точки B, i позначається | −→AB|.

 Означення 6.4. Вектор, довжина якого дорiвнює нулю, називається нульовим ветором i позначається −→0 . Нульовий вектор напряму не має.

Означення 6.5. Вектор, довжина якого дорiвнює одиницi, називається одиничним вектором i позначається −→e . Одиничний вектор, напрям якого спiвпадає з напрямом вектора −→a , називається ортом вектора −→a i позначається −→a 0 .

 Означення  Вектори −→a i −→b називаються колiнеарними, якщо вони лежать на однiй прямiй або на паралельних прямих. Позначення: −→a ||−→b . Якщо колiнеарнi вектори мають один напрям, то їх називають спiвнаправленими i позначають −→a −→b ; якщо колiнеарнi вектори мають протилежнi напрями, то їх називають протилежно направленими i позначають −→a ↑↓ −→b . Нульовий вектор вважається колiнеарним будь-якому вектору.

 Означення  Вектори −→a i −→b називаються рiвними, якщо вони колiнеарнi, однаково направленi i мають однаковi довжини. Позначення: −→a = −→b . З означення рiвностi векторiв випливає, що вектор можна переносити паралельно самому собi, а початок вектора помiщати в будь яку точку O простору.

Означення Три вектори в просторi називаються компланарними, якщо вони лежать в однiй площинi або в паралельних площинах. Якщо серед трьох векторiв хоча б один нульовий або два вектори колiнеарнi, то такi вектори компланарнi.

  Лiнiйнi операцiї над векторами.            Пiд лiнiйними операцiями над векторами розумiють операцiї додавання та вiднiмання веторiв, а також множення вектора на число. Нехай −→a та −→b — два довiльних вектори. Вiзьмемо довiльну точку O та побудуємо вектор −→OA = −→a . Вiдкладемо вiд точки A вектор −→AB = −→b . Вектор −−→OB, що з’єднує початок вектора −→a та кiнець вектора −→b , називається сумою векторiв −→a та −→b : −−→OB = −→a + −→b . Це правило додавання векторiв називається правилом трикутника. Суму двох векторiв можна побудувати також за правилом паралелограма.  Пiд рiзницею векторiв −→a та −→b розумiють вектор −→c = −→a − −→b такий, що −→b + −→c = −→a . Зауважимо, що у паралелограмi, побудованому на векторах −→a та −→b одна направлена дiагональ є сумою векторiв −→a та −→b , а iнша — рiзницею. Добутком вектора −→a на скаляр (число) λ називається вектор λ −→a , який має довжину |λ| · |−→a |, колiнеарний вектору −→a , причому спiвнаправлений з вектором −→a , якщо λ > 0, i протилежного з вектором −→a напрямку, якщо λ < 0.

Властивостi лiнiйних операцiй над векторами: 1) −→a + −→b = −→b + −→a ; 2) −→a + (−→b + −→c ) = (−→a + −→b ) + −→c ; 3) λ1(λ2 −→a ) = (λ1λ2) −→a ; 4) (λ1 + λ2) −→a = λ1 −→a + λ2 −→a ; 5) λ( −→a + −→b ) = λ −→a + λ −→b .

 Проекцiя вектора на вiсь. Нехай у просторi задана вiсь l, тобто напрямлена пряма.

Означення  Проекцiєю точки M на вiсь l називається основа M1 перпендикуляра MM1, опущеного з точки M на вiсь l. Точка M1 є точкою перетину осi l з площиною, яка проходить через точку M перпендикулярно осi l. Якщо точка M лежить на осi l, то проекцiя точки M спiвпадає з M. Нехай −→AB - довiльний вектор (−→AB 6= −→0 ). Позначимо через A1 i B1 проекцiї на вiсь l вiдповiдно початку A i кiнця B вектору −→AB, i розглянемо вектор −−−→ A1B1.

Означення  Проекцiєю вектора −→AB на вiсь l називається додатнє число | −−−→ A1B1|, якщо ветор −−−→ A1B1 та вiсь l спiвнаправленi, i вiд’ємне число −|−−−→ A1B1|, якщо ветор −−−→ A1B1 та вiсь l протилежно направленi. Якщо точки A1 i B1 спiвпадають (−−−→ A1B1 = −→0 ), тодi проекцiя вектора −→AB на вiсь l дорiвнює нулю. Проекцiя вектора −→AB на вiсь l позначається так: npl −→AB. Якщо −→AB = −→0 або −→AB ⊥ l, то npl −→AB = 0. Кут мiж вектором −→AB та вiссю l будемо позначати ϕ. Очевидно, 0 ≤ ϕ ≤ π

Координати точки та вектора.          Розглянемо у просторi прямокутну систему координат Oxyz. Для будь-якої точки M простору координати вектора −−→OM називаються координатами точки M. Вектор −−→OM називається радiус-вектором точки M та позначається −−→OM = −→r . Таким чином, координати точки — це координати її радiусвектора −→r = (x, y, z): −→r = x −→i + y −→j + z −→k . Координати точки M записуються у виглядi: M(x, y, z). Знайдемо тепер координати вектора −→AB, якщо вiдомi координати точок A(x1, y1, z1) та B(x2, y2, z2). Маємо −→AB = −−→OB − −→OA = (x2 −→i + y2 −→j + z2 −→k ) − (x1 −→i + y1 −→j + z1 −→k ) = = (x2 − x1) −→i + (y2 − y1) −→j + (z2 − z1) −→k . Таким чином, координати вектора дорiвнюють рiзницi вiдповiдних координат його кiнця та початку: −→AB = ((x2 − x1),(y2 − y1),(z2 − z1)).

Дом.завд. Опрацювати конспект