19.03.2020

Тема: Переріз кулі площиною

Теорема про переріз кулі. Якщо відстань від центра кулі до площини менша за радіус кулі, то перерізом кулі цією площиною є круг. Центр цього круга є основою перпендикуляра, проведеного з центра кулі до площини перерізу.

Наслідок. Якщо відстань від центра сфери до площини менша за радіус сфери, то перерізом сфери цією площиною є коло. Центр цього кола є основою перпендикуляра, проведеного з центра сфери до площини перерізу.

Діаметральною площиною називають січну площину, яка проходить через центр кулі. Центри кулі й діаметрального перерізу збігаються, а радіус перерізу дорівнює радіусу кулі.

Великим кругом (колом) називають переріз кулі (сфери) діаметральною площиною.

Будь-яка діаметральна площина кулі є її площиною симетрії.

Центр кулі є її центром симетрії.

Математичний диктант.

Кулю перетнуто січною площиною на відстані 8 см від центра кулі, Радіус кулі дорівнює: варіант 1 — 10 см; варіант 2 — 17 см.

Знайдіть:

а) площу великого круга; (2 бали)

б) довжину великого кола; (2 бали)

в) радіус перерізу; (2 бали)

г) площу перерізу; (2 бали)

д) кут між радіусом перерізу і радіусом кулі, проведених в одну точку кола перерізу; (2 бали)

е) площу квадрата, вписаного в переріз. (2 бали)

Відповідь.

Варіант 1. а)  100π см²; б) 20π см; в) 6 см; г) 36π см²: д) arcsin ; е) 72 см².

Варіант 2. а) 289π см²; б) 34π см; в) 15 см; г) 225π см²: д) arcsin ; е) 450 см².

Розв'язування задач

1. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 30 см і 40 см. На якій відстані від площини трикутника знаходиться центр сфери яка має радіус 65 см і проходить через всі вершини трикутника? (Відповідь. 60 см.)

2. Вершини прямокутника лежать на сфері радіуса 10 см. Знайдіть відстань від центра сфери до площини прямокутника, якщо діаго­наль прямокутника дорівнює 16 см. (Відповідь. 6 см.)

3. Площина перетинає сферу. Діаметр сфери, проведений в одну із то­чок лінії перетину, утворює з площиною кут α. Знайдіть радіус перерізу, якщо діаметр сфери дорівнює d. (Відповідь. cos α.)

4. На поверхні кулі радіуса r дано дві точки, відстань між якими до­рівнює радіусу кулі. Знайдіть найкоротшу відстань між цими точками по поверхні кулі. (Відповідь. .)

5. У кулі радіуса r проведено великий круг і переріз площиною, яка має з великим кругом тільки одну спільну точку й утворює з ним кут α. Знайдіть площу перерізу. (Відповідь, πr² cos² α.)

 

Дом.завд.Запитання

1) Скільки осей симетрії має куля (сфера)?

2) Скільки площин симетрії має куля (сфера)?

3) Скільки центрів симетрії має куля (сфера)?